아인슈타인 덕분에 우리는 3 차원 공간이 뒤틀리고 구부러져 있다는 것을 알고 있다. 그러나 뒤틀린 공간에서 물리학이 어떻게 작동하는지 연구하는 것은 어렵다.

미국 메릴랜드 대학(University of Maryland) 물리학 교수 겸 JQI(Joint Quantum Institute)연구원 알리시아 코랄(Alicia Kollár)은 “우리는 일반 상대성 이론에서 우주 자체가 여러 곳에서 구부러져 있다는 것을 알고 있다. 하지만 실제로 실험실이 있는 곳은 매우 약하게 뒤틀려 있다. 중력이 강한 곳으로 가면 실험실이 찢어지기 때문이다”라고 말했다.

우리가 일반적으로 당연하게 여기는 것과 다른 기하학적 규칙을 가진 공간을 비-유클리드(non-Euclidean)라고 한다. 이러한 환경은 핵심 가정을 뒤집어 정확하게 시각화하는 것이 불가능할 수 있다. 비 유클리드 기하학은 이질적이며 멀리 떨어져있는 다른 세상의 추상화 그 이상이다.

물리학자들은 곡선 공간이 드러낼 수 있는 새로운 물리학에 관심이 있다. 비 유클리드 기하학은 특정 기술의 설계를 개선하는 데 도움이 될 수도 있다. 비 유클리드 기하학의 한 유형은 쌍곡선 공간(음의 곡선 공간)이다. 쌍곡선 공간의 2차원 물리적 버전조차도 정상적인 “평평한”환경에서는 만들 수 없다. 그러나 과학자들은 여전히 쌍곡선 환경을 모방하여 음으로 구부러진 공간에서 특정 물리학이 어떻게 진행되는지 탐구할 수 있다.

최근 피지컬리뷰 A(Physical Review A)에 코랄 그룹과 JQI, NIST 물리학자이자 JQI 연구원 알렉세이 고르쉬코브(Alexey Gorshko)의 공동 작업이 발표됐다. 연구는 쌍곡선 공간의 시뮬레이션을 더 잘 이해하기위한 새로운 수학적 도구로 칩에 포함된 마이크로파 빛을 사용해 쌍곡선 공간에서 질서 정연한 격자를 시뮬레이션하는 앞선 실험을 기반으로 했다.

그들의 새로운 도구 상자에는 연구자들이 실험 결과를보다 유용한 형태로 변환하는 데 도움이되는 “불연속 기하학과 연속 기하학 사이의 사전”이라고하는 것이 포함됐다. 이러한 도구를 사용하여 연구자들은 쌍곡선 공간의 뒤죽박죽 세계를 더 잘 탐색할 수 있다. 상황은 앨리스가 토끼 굴에 빠지는 것과 정확히 같지는 않지만 이러한 실험은 구석 구석에 놀라운 발견이 숨어 있을 수 있다. 의미를 재고해야하는 새로운 세계를 탐험할 수있는 기회다.

새로운 논문의 제 1저자 인 JQI 박사후 연구원 이고르 보에처(Igor Boettcher)는 “이러한 실험은 정말 많은 응용 프로그램이 있다. 이 시점에서 모든 것을 할 수있는 것은 예측할 수 없지만 풍부한 응용 프로그램과 멋진 물리학이 많이 있을 것으로 기대한다”고 설명했다.

평평한 공간에서 두 점 사이의 최단 거리는 직선이며 평행선은 아무리 길어도 교차하지 않는다. 곡선 공간에서는 이러한 기본 기하학이 더이상 적용되지 않는다. 평면과 곡선의 수학적 정의는 2차원에 적용될 때 일상적인 의미와 유사하다.

종이나 지도를 상상하거나 실제로 가지고 놀면서 곡선 공간의 기본을 느낄 수 있다. 예를 들어, 지구본 (또는 공)의 표면은 양의 곡선으로 된 2차원 공간의 예다. 그리고 평평한 지도를 지구본으로 만들려고 하면 종이를 구 모양으로 구부리면서 종이가 과도하게 구겨진다. 부드러운 구를 가지려면 여분의 공간을 잃어버려 두 극에서 만나는 적도에서 평행을 시작하는 경도선처럼 결국 평행선이 만나야 한다. 이러한 손실로 인해 양의 곡선 공간은 평평한 공간보다 공간이 적은 공간으로 생각할 수 있다.

쌍곡선 공간은 양의 곡선 공간, 즉 공간이 더 넓은 공간의 반대다. 쌍곡선 공간은 모든 지점에서 멀어진다. 불행히도, 2차원 시트를 강제로 넣을 수 있는 공과 같은 쌍곡선은 없다. 말 그대로 우리가 사는 공간에 맞지 않다. 최선은 주변 시트가 중심점에서 멀어지도록 쌍곡선으로 구부러지는 안장(또는 프링글) 모양을 만드는 것이다.

미로 회로 탐색

지구상에 쌍곡선 공간을 물리적으로 만드는 것은 불가능하기때문에 연구자들은 곡선 공간의 일부 특징을 재현하는 실험실 실험에 안주해야 했다.

연구팀은 이전에 균일한 2 차원 곡선 공간을 시뮬레이션 할 수 있음을 보여주었다. 시뮬레이션은 마이크로파가 통과하는 매우 조직적인 미로 역할을 하는 회로로 수행된다. 회로의 특징은 마이크로파가 이를 포함하는 공진기의 모양과 무관하고 전체 길이의 영향을 받는다는 것이다. 또한 서로 다른 경로가 연결되는 각도는 중요하지 않다.

코랄은 이러한 사실이 적어도 마이크로파에 관한 한 회로의 물리적 공간을 효과적으로 늘리거나 비틀어 비 유클리드 공간을 만들 수 있음을 의미한다는 것을 깨달았다. 이전 작업에서 이들은 다양한 지그재그 경로 모양으로 미로를 만들고 회로가 쌍곡선 공간을 시뮬레이션했음을 보여줄 수 있었다.

그들이 사용한 회로의 편리함과 질서 있음에도 불구하고 그 안에서 펼쳐지는 물리학은 여전히 효율적으로 탐색하기 위해 새로운 수학적 도구가 필요한 이상한 새로운 세계를 나타낸다. 쌍곡선 공간은 정상적으로 작동하는 유클리드 공간과는 다른 수학적 도전이다. 예를 들어, 연구자들은 매끄럽고 연속적인 공간처럼 작동해야하는 무한히 작은 격자에 대해 어떤 일이 발생하는지 알아 내기 위해 격자가 점점 작아지는 것을 상상하는 표준 물리학 트릭을 사용할 수 없다. 쌍곡선 공간에서는 공간의 곡률로 인해 격자의 모양이 크기에 따라 변하기 때문이다.

새로운 논문은 이러한 문제를 회피하고 시뮬레이션 결과를 이해하기 위해 불연속 기하학과 연속 기하학 사이의 사전과 같은 수학적 도구를 설정한다. 새로운 도구를 사용해 연구원은 정성적인 관찰을하는 대신 정확한 수학적 설명과 예측을 얻을 수 있다. 시뮬레이션이 격자로만 이루어진 경우에도 연속 쌍곡선 공간을 연구할 수 있다. 이를 통해 연구자들은 격자의 고유한 지점 사이를 이동하는 마이크로파에 대한 설명을 부드러운 확산을 설명하는 방정식으로 변환하거나 격자의 모든 지점에 대한 수학적 합계를 적분으로 변환할 수 있다. 이는 특정 상황에서 더 편리하다.

시뮬레이션 결과를 이해하는 데 도움이되는 새로운 도구를 통해 연구원들은 시뮬레이션을 통해 질문에 답하고 발견할 수있는 능력을 개선했다. 보에처는 우주에 대한 비 유클리드 설명을 사용하여 양자 중력 이론과 양자장 이론을 결합하는 물리학적 추측인 AdS / CFT 대응을 조사하는 데 유용한 시뮬레이션에 대해 낙관적이라고 설명한다.

연구팀은 이러한 실험이 시뮬레이션에 상호 작용을 통합하여 더 많은 물리학을 드러낼 수 있는지 탐구할 계획이다. 가장 가까운 이웃 호핑 및 국소 상호 작용을 가진 쌍곡 격자의 양자 다체 시스템이 연속 음의 곡선 공간에서 양자장 이론에 매핑되는 방법을 보여준다. 기본 격자는 최근 초전도 공진기로 실험적으로 구현, 곡선 배경에서 양자 물리학의 탁상용 양자 시뮬레이션을 허용한다.

매핑은 정확한 대각화가 실패하는 큰 격자에 대해서도 이산 시스템의 관찰 가능 항목을 결정하는 계산 도구를 제공한다. 응용 및 원리 증명으로서 이들은 푸앵카레 디스크(Poincaré disc) 분석 공식을 사용하여 비상호작용 격자 시스템의 기저 상태 에너지, 스펙트럼 갭 및 상관 함수를 정량적으로 재현하고 큰 격자에 대해 등각 대칭이 어떻게 나타나는지 보여준다. 미래에 쌍곡선 그래프에서 상호 작용과 장애를 연구하기위한 단계를 설정한다.

연구팀 분석에 따르면 상대적으로 작은 이산 쌍곡선 격자조차도 음의 곡선 공간의 연속적인 기하학을 모방해 상호 작용하는 다체 시스템의 인터페이스, 곡선 공간의 양자장 이론 및 양자 중력에서 근본적인 문제를 실험적으로 해결하는 데 사용할 수 있다.

*Quantum simulation of hyperbolic space with circuit quantum electrodynamics: From graphs to geometry