수 세기 오일러 수학 퍼즐에 양자 해법 제시

수학자의 유명한 “36명의 장교 퍼즐”에 대한 새로운 솔루션은 양자 정보를 인코딩하는 새로운 방법을 제시한다.

1779년 스위스 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 지금까지 풀리지 않은 수수께끼를 내놓았다. 6개 연대에는 6개 계급의 장교 6명이 있다. 36명의 장교를 6×6 정사각형으로 배열하여 행이나 열이 계급이나 연대를 반복하지 않도록 할 수 있는가.

5열 5개 연대, 7열 7개 연대가 있으면 퍼즐을 쉽게 풀 수 있다. 그러나 36명의 장교 퍼즐에 대한 해법을 찾지 못한 오일러는 “이런 배치는 불가능하지만, 이에 대해 엄밀하게 시연할 수는 없다”고 결론지었다. 100여 년 후, 프랑스 수학자 Gaston Tarry는 실제로 오일러의 36명의 장교를 반복 없이 6×6 정사각형에 배열할 수 없음을 증명했다. 1960년에 수학자들은 컴퓨터를 사용하여 흥미롭게도 6개 연대를 제외하고 2개 이상의 연대와 계급에 대한 솔루션이 존재함을 증명했다.

세계 각 문화권마다 비슷한 퍼즐이 2,000년 이상 존재했다. 각 행과 열을 따라 동일한 합을 더하는 숫자 배열인 “마법의 사각형”과 행과 열에 각각 한 번씩 나타나는 기호로 채워진 “라틴 사각형” 등이다. 이 사각형은 예술 및 도시 계획에 사용되었으며 재미를 위해 사용됐다. 인기 있는 라틴 사각형인 스도쿠에는 반복되는 기호가 없는 하위 사각형이 있다. 오일러의 36명의 장교 퍼즐은 계급 및 연대와 같은 두 가지 속성 집합이 모두 라틴 광장의 규칙을 동시에 충족하는 “직교 라틴 광장”을 요구한다.

5×5 그리드에서 5가지 등급과 5가지 색상의 체스 말은 행이나 열이 등급이나 색상을 반복하지 않도록 배열된다.

오일러는 그러한 6×6 정사각형이 존재하지 않는다고 생각했지만 새로운 연구로 게임이 바뀌었다. 온라인으로 공개되고 Physical Review Letters 저널에 제출된 한 논문에서 인도와 폴란드의 양자 물리학자 그룹은 장교가 계급의 양자 혼합을 가질 수 있는 한 오일러의 기준을 충족하는 방식으로 36명의 장교를 배치할 수 있음을 보여준다. 퀀타메거진(quantamagazine) 주목한 이 결과는 매직 스퀘어 및 라틴 스퀘어 퍼즐의 양자 버전을 개발하는 최신 작업 라인으로, 재미와 게임뿐만 아니라 양자 통신 및 양자 컴퓨팅에 대한 응용 프로그램이 있다.

양자 수수께끼의 새로운 시대는 2016년 영국 케임브리지 대학의 Jamie Vicary와 당시 학생이었던 Ben Musto가 라틴 사각형에 나타나는 항목이 양자가 될 수 있다는 아이디어를 가짐으로써 시작됐다.

양자 역학에서 전자와 같은 물체는 여러 가능한 상태의 “중첩”에 있을 수 있다. 양자 물체는 측정될 때까지 이 림보에 머물며, 그 시점에서 하나의 상태에 정착한다. 양자 라틴 제곱의 항목은 또한 양자 중첩에 있을 수 있는 양자 상태다. 수학적으로 양자 상태는 화살표처럼 길이와 방향을 갖는 벡터로 표현된다. 중첩은 여러 벡터를 결합하여 형성된 화살표다. 라틴 제곱의 각 행과 열에 있는 기호가 반복되지 않아야 한다는 요구 사항과 유사하게, 양자 라틴 제곱의 각 행이나 열에 있는 양자 상태는 서로 수직인 벡터에 대응해야 한다.

양자 라틴 제곱은 특이한 특성에 관심이 있는 이론 물리학자와 수학자 커뮤니티에 의해 빠르게 채택됐다. 작년에 프랑스의 수학 물리학자 Ion Nechita와 Jordi Pillet은 양자 버전의 스도쿠 SudoQ를 만들었다. 0에서 9까지의 정수를 사용하는 대신 SudoQ에서 행, 열 및 부분 정사각형에는 각각 9개의 수직 벡터가 있다.

이러한 발전 덕분에 폴란드 Jagiellonian University 박사후 연구원인 Adam Burchardt와 그의 동료들은 36명의 장교에 대한 오일러의 오래된 수수께끼를 재검토하게 됐다. 오일러의 장교가 양자가 된다면 어떨까?

문제의 고전적인 버전에서 각 항목은 잘 정의된 계급과 연대를 가진 장교다. 36명의 장교를 색색의 체스 말이라고 생각하면 도움이 된다. 그 계급은 왕, 여왕, 루크, 비숍, 기사 또는 폰이 될 수 있고 연대는 빨간색, 주황색, 노란색, 녹색, 파란색 또는 보라색으로 표시된다. 그러나 양자 버전에서 장교는 계급과 연대의 중첩으로 구성된다. 예를 들어, 장교는 빨간색 왕과 주황색 여왕의 중첩이 될 수 있다.

결정적으로, 이러한 장교를 구성하는 양자 상태는 서로 다른 개체 간의 상관 관계를 포함하는 얽힘이라는 특별한 관계를 가지고 있다. 예를 들어 붉은 왕이 주황색 여왕과 얽혀 있으면 왕과 왕비가 여러 연대의 중첩에 있더라도 왕이 빨간색임을 관찰하면 여왕이 주황색임을 즉시 알 수 있다. 각 라인의 장교들이 모두 수직이 될 수 있는 것은 얽힘의 독특한 특성 때문이다.

이 이론은 효과가 있는 것 같았지만 이를 증명하기 위해 저자는 양자 책임자로 채워진 6×6 배열을 구성해야 했다. 수많은 가능한 구성과 얽힘으로 인해 컴퓨터의 도움에 의존해야 했다. 연구원들은 고전적 근거리 솔루션(36명의 고전적인 장교들이 행이나 열에 몇 번만 반복되는 계급과 연대를 가진 배열)을 연결하고 진정한 양자 솔루션을 향해 배열을 조정하는 알고리즘을 적용했다. 알고리즘은 첫 번째 행을 수정한 다음 첫 번째 열, 두 번째 열 등을 수정하는 무차별 대입으로 루빅스 큐브를 푸는 것과 약간 유사하다. 그들이 알고리즘을 계속해서 반복했을 때, 퍼즐 배열은 진정한 솔루션에 점점 더 가까워졌다. 결국 연구원들은 패턴을 보고 남은 몇 가지 항목을 손으로 채울 수 있는 지점에 도달했다.

오일러는 18세기에 양자 책임자의 가능성에 대해 알지 못했을지라도 어떤 의미에서는 잘못된 것으로 판명됐다.

Nechita는 “그들은 이 문제에 대한 책을 닫았는데, 이미 매우 훌륭하다”며 “매우 아름다운 결과이고 나는 그들이 그것을 얻는 방식을 좋아한다”고 말했다.

공동 저자인 첸나이의 마드라스 인도공과대학(Indian Institute of Technology Madras in Chennai) 물리학자 수하일 래더(Suhail Rather)에 따르면 그들의 솔루션의 놀라운 기능 중 하나는 장교 계급이 인접한 계급(왕과 비숍, 루크와 비숍, 기사는 졸)과만 얽혀 있다는 것이다. 인접한 연대와 연대. 또 다른 놀라움은 양자 라틴 제곱의 항목에 나타나는 계수였다. 이 계수는 본질적으로 중첩에서 서로 다른 항에 얼마나 많은 가중치를 부여해야 하는지를 알려주는 숫자다. 흥미롭게도 알고리즘이 도달한 계수의 비율은 유명한 황금 비율인 Φ 또는 1.618…이었다.

이 솔루션은 AME(Absolutely Maximumly Entangleed state)라고도 알려진 것으로, 데이터 손상이 있는 경우 중복된 정보저장 방법들로 양자 컴퓨터 양자 오류 수정을 비롯한 여러 응용 분야에서 중요하다고 생각되는 양자 개체의 배열이다. AME에서 양자 물체 측정 간의 상관 관계는 가능한 한 강력하다. Alice와 Bob이 얽힌 동전을 가지고 있고 Alice가 동전을 던지고 앞면이 나오면 Bob에게 뒷면이 있다는 것을 확실히 알고 그 반대의 경우도 마찬가지다. 두 개의 동전이 최대로 얽힐 수 있고 세 개는 얽힐 수 있지만 네 개는 불가능하다. Carol과 Dave가 동전 던지기에 참여하면 Alice는 Bob이 무엇을 얻는지 결코 확신할 수 없다.

그러나 새로운 연구에 따르면 동전이 아닌 4개의 얽힌 주사위 세트가 있으면 이것이 최대로 얽힐 수 있다. 6면체 주사위의 배열은 6×6 양자 라틴 제곱과 같다. 그들의 솔루션에 황금 비율이 존재하기 때문에 연구원들은 이것을 “황금 AME”라고 불렀다.

연구원들은 이전에 고전적인 오류 수정 코드로 시작해 유사한 양자 버전을 찾아 다른 AME를 고안했다. 그러나 새로 발견된 황금 AME는 고전적인 암호화 아날로그가 없는 것이 다르다. Burchardt는 이것이 새로운 종류의 양자 오류 수정 코드 중 첫 번째가 될 수 있다고 생각한다. 그런 다음 다시, 황금 AME가 고유한 상태로 유지된다면 똑같이 흥미로울 수 있다.